. 圖象關于原點對稱

2. 滿足f(-x) = - f(x)

3. 關于原點對稱的區(qū)間上單調性一致

奇函數與偶函數的加減乘除后的奇偶性

一般地，除了既是奇函數又是偶函數的函數（如：y=0，x∈R）外，中學數學里常見的奇函數與偶函數的加、減、乘、除后的奇偶性，可簡單地表示如下：

（1）奇函數±奇函數=奇函數；偶函數±偶函數=偶函數，奇函數±偶函數=非奇非偶函數，偶函數±奇函數=非奇非偶函數；

【注】上面的性質特點可以簡單地概括為：“同性”加減，奇偶不變；“異性”加減，非奇非偶。

（2）奇函數×奇函數=偶函數，偶函數×偶函數=偶函數，奇函數×偶函數=奇函數，偶函數×奇函數=奇函數；

【注】上面的性質特點可以簡單地概括為：“同”乘為“偶”，“異”乘為“奇”。

（3）奇函數÷奇函數=奇函數/奇函數=偶函數，偶函數÷偶函數=偶函數/偶函數=偶函數，奇函數÷偶函數=奇函數/偶函數=奇函數，偶函數÷奇函數=偶函數/奇函數=奇函數

【注】上面的性質特點可以簡單概括為：“同”除為“偶”，“異”除為“奇”。

需要注意的是，上面的各個性質等式中，必須保證左邊的兩個函數的定義域的交集不是空集。因為如果兩個具有奇偶性的函數的定義域的交集為空集，則不論它們二者作何種運算后的函數的定義域都是空集，不滿足函數的定義域“非空”，討論其結果的奇偶性也就毫無意義了。

【知識補充】

一、奇函數、偶函數的概念

1、奇函數：假如一個函數f(x)的定義域關于原點對稱，并且對于定義域中的任意x都有f(-x)=-f(x),則稱函數f(x)為奇函數。

2、偶函數：假如一個函數g(x)的定義域關于原點對稱，并且對于定義域中的任意x都有g(-x)=g(x),則稱函數g(x)為偶函數。

【注意】定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提。如果一個函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不具有奇偶性。

二、奇函數、偶函數的圖像特點

1、奇函數圖象關于原點對稱。奇函數的圖象，是個以原點為對稱中心的中心對稱圖象。

2、偶函數圖象關于y軸對稱。偶函數的圖象，是個以y軸為對稱軸的軸對稱圖象。

3、奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相反。

4、如果奇函數f(x)的定義域中有“0”，則一定有f(0)=0。因此，如果一個奇函數的定義域中有“0”，則這個奇函數的函數圖象一定過原點。

5、如果偶函數g(x)的定義域中有“0”，則g(0)不一定為0。因此，如果一個偶函數的定義域中有“0”，則這個偶函數的函數圖象不一定過原點。

6、偶函數在對稱區(qū)間上的值域相同，奇函數在對稱區(qū)間上的值域關于原點對稱。

三、奇函數、偶函數的判定

假設函數f(x)、g(x)的定義域都關于原點對稱。則

1、f(x)是奇函數的幾個充要條件為：

（1）對定義域中的任意x都有：f(-x)=-f(x);

（2）對定義域中的任意x都有：f(x)+f(-x)=0;

（3）對定義域中的任意x都有：f(-x)/f(x)=-1;【注】分母不為0.

（4）對定義域中的任意x都有：f(x)/f(-x)=-1;【注】分母不為0.

（5）f(x)的函數圖象關于原點對稱。

2、g(x)是偶函數的幾個充要條件為：

（1）對定義域中的任意x都有：g(-x)=g(x);

（2）對定義域中的任意x都有：g(x)-g(-x)=0;

（3）對定義域中的任意x都有：g(-x)/g(x)=1;【注】分母不為0.

（4）對定義域中的任意x都有：g(x)/g(-x)=1;【注】分母不為0.

（5）g(x)的函數圖象關于y軸對稱。

四、函數按奇偶性的分類

所有函數照奇偶性分類可以分成四類，分別是：奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數、非奇非偶函數。

常見的“奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數、非奇非偶函數”舉例如下。

1、常見的奇函數

（1）次數為奇數的冪函數：y=x^(2n-1)，n為整數。例：y=x，y=x^(-1)=1/x，

（2）正弦函數和正切函數：y=sinx，y=tanx。

（3）設函數f(x)的定義域關于原點對稱，則g(x)=[f(x)-f(-x)]/2為奇函數。

【注】因為g(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-g(x)。

2、常見的偶函數

（1）常函數：y=c（c為常數）。

（2）次數為偶數的冪函數：y=x^(2n)，n為整數。例：y=x^2，y=x^(-2)。

（3）余弦函數及某些三角函數的變形：y=cosx，y=|sinx|，y=|cosx|，y=sin|x|。

（4）特殊的分段函數：y=|x|。

（5）設函數f(x)的定義域關于原點對稱，則g(x)=[f(x)+f(-x)]/2為偶函數。

【注】因為g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=[f(x)+f(-x)]/2=g(x)。

3、常見的既是奇函數又是偶函數的函數

y=0（定義域關于原點對稱）。例：1、y=0，x∈R；2、y=0，x∈(-1,1)等。

【注】高中數學里，“y=0”是唯一的一個“既是奇函數又是偶函數的”函數解析式形式。

4、常見的非奇非偶函數

（1）奇函數與偶函數的和。例：y=x+1，y=x+x^2;

（2）指數函數、對數函數。例：y=a^x（a>0且a≠1），y=lnx，y=lgx。

（3）某些冪函數。例：y=√x（注：y=“x的算術平方根”）。

五、復合函數的奇偶性

設復合函數u(x)=f(g(x))，定義域非空且關于原點對稱，則有：

（1）f(x)、g(x)都為奇函數時，u(x)=f(g(x))為奇函數。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-u(x)。

（2）f(x)、g(x)都為偶函數時，u(x)=f(g(x))為偶函數。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。

（3）f(x)為奇函數，g(x)為偶函數時，u(x)=f(g(x))為偶函數。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。

（4）f(x)為偶函數，g(x)為奇函數時，u(x)=f(g(x))為偶函數。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=u(x)。

【注】根據上面四種復合函數的奇偶性，可以概括地得到如下結論：只有內外層的所有函數都為奇函數時，復合后的函數才為奇函數。否則，復合后的函數都是偶函數

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